연간 교육계획 등을 말할 때 자기계발과 자기개발을 혼용해서 사용합니다.
사전적인 의미로 보면 아래와 같은데, 실제는 개발로 많이 사용합니다.

계발 [啓發]   슬기나 사상 따위를 일깨워 줌
    - 상상력 계발, 외국어 능력의 계발

개발 [開發]   지식이나 재능따위를 발달하게 함
    - 기술 개발, 자신의 능력 개발

이 문제('계발[啓發]'이냐 개발[開發]이냐)에 관해서는 아주 오래 전부터 논의되어 왔습니다.

한자의 의미를 중시하는 사람들은 이의 구별에 신경을 쓰고, 한자의 낱자보다는 전체의 뜻을 취하려고 하는 사람들은 '개발(開發)' 하나로 일관하여 쓰려고 하는 경향을 보이고 있습니다. 비슷한 뜻이라면 되도록 어려운 글자보다는 쉬운 글자로 바꿔 쓰는 것이 좋다는 생각이 깃들여 있기도 하지요.

질문자께서 인용하신 사전의 풀이와 예문을 보더라도, 그 구별이 그렇게 뚜렷하지 않음을 알 수 있습니다. 현재는 혼용되고 있지만(능력 따위는 '계발'로 쓰자는 사람 쪽이 우세?), 앞으로는 '개발(開發)' 하나로만 쓰이게 되지 않을까 하는 것이 제 생각입니다.[생각을 물으신 게 아닌데, 죄송합니다.]
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요컨대, 현재는 자기 계발이라고 쓰든 자기 개발이라고 쓰든 아무도 틀렸다고 단정할 수 없다는 것입니다. 두 가지 낱말을 두루 알고만 있다면 말입니다.